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Maple a contribué à la découverte de la forme mathématique Gömböc

Publication: Juin 2013

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La compréhension des formes existant dans la nature revêt une importance grandissante, aussi bien sur terre qu’au-delà. Récemment, le robot Curiosity de la NASA a retransmis des images ...
 

La découverte en 2007 de la forme Gömböc par les scientifiques hongrois Gábor Domokos et Péter Várkonyi a permis de résoudre une vieille énigme. Les mathématiciens discutaient, débattaient et s’efforçaient depuis longtemps de prouver son existence à l’aide d’équations mathématiques. Vladimir Arnold, un scientifique russe, en avait subodoré l’existence, mais il fallut une décennie pour la prouver de façon irréfutable et créer la forme. Le New York Times a qualifié la découverte d’ « une des meilleures idées de l’année ». Comme pour de nombreux développements, Maple a également joué un rôle dans la création du Gömböc

Un Gömböc est un objet homogène tridimensionnel convexe qui, posé sur une surface plane, n’a qu’un point stable et un point instable d’équilibre. La forme Gömböc n’est pas unique ; elle possède d’innombrables variantes, proches pour la plupart de la sphère, et toutes avec des tolérances de forme très strictes (inférieures à 0,1 mm par 10 cm). La solution la plus célèbre présente une partie supérieure aiguisée, comme illustré sur la figure.

Si l’on place un Gömböc sur une surface plane, posé sur son point d’équilibre stable, il restera dans la même position. « Même si on lui donne une pichenette, il reviendra en position de repos au même point d’équilibre stable », explique Gábor Domokos, co-inventeur du Gömböc. S’il est posé sur un point de non-équilibre, il se mettra systématiquement à tourner jusqu’à ce qu’il ait atteint sa position d’équilibre stable. En d’autres termes, le Gömböc est à redressement automatique [1]. Pour tout dire, Wired Magazine le qualifie de « premier objet au monde à redressement automatique ».

Gömböc figure au livre Guiness des Records comme « première forme homogène à redressement automatique ». Natural History Magazine démontre que « le secret réside dans les mathématiques de sa forme ».

L’invention du Gömböc est l’aboutissement d’un long travail de recherche et Maple, le moteur de calcul mathématique, a joué un rôle non négligeable dans cette découverte. On savait que la forme non découverte était un objet convexe mono-monostatique, un objet tridimensionnel qui, en raison de sa géométrie, n’avait qu’un équilibre possible en position debout. Gábor Domokos et Péter Várkonyi identifièrent une famille d’objets à deux paramètres, présentant tous la caractéristique mono-monostatique voulue. Tous, cependant, n’étaient pas convexes. Maple fut utilisé pour identifier les caractéristiques convexes et démontrer ainsi l’existence de la forme. Le processus passait par une grande quantité de calculs mathématiques complexes et précis, rendus possibles par la puissance de calcul de Maple.

« La géométrie finale du Gömböc devait être déterminée avec une grande précision ; autrement dit, les détails étaient critiques et nous ne pouvions pas nous permettre d’en manquer », souligne Gábor Domokos. « Maple a été très utile à cet égard. Grâce à Maple, les calculs ont pu être plus approfondis et plus sûrs ; sa puissance est telle qu’il peut calculer et explorer des détails très sensibles. Ce fut par conséquent le fidèle compagnon de notre démarche exploratoire ».

Evoquant l’engouement pour le Gömböc et l’attention qu’il a reçue de la part de la communauté mathématique et scientifique internationale, Gábor Domokos a déclaré : « La beauté du Gömböc réside dans sa simplicité absolue. Il est tellement simple que des élèves du secondaire peuvent le comprendre, tout en offrant potentiellement un impact fort sur les sciences et plusieurs applications dans la nature. Et pourtant, la réponse nous a échappé pendant 2000 ans ».

En transposant leur découverte dans l’univers des sciences naturelles, Gábor Domokos et Péter Várkonyi ont trouvé une application unique du Gömböc parmi les tortues. Ils ont réalisé une étude approfondie sur les tortues, au moyen de modèles tridimensionnels complexes de la coquille, créés dans Maple. A l’aide de ces modèles, ils ont découvert que sur les 200 espèces de tortues répertoriées dans la nature, deux sont pourvues de coquilles en forme de Gömböc. Autrement dit, ces tortues possèdent un atout unique, en ce sens qu’elles ont la capacité de se redresser automatiquement. J’ai vu qu’elles se comportaient comme des Gömböcs », s’exclame Gábor Domokos.

Pour n’importe quelle tortue, le retournement sur le dos est une position vulnérable et dangereuse. Les mâles sont connus pour faire basculer leurs rivaux sur le dos afin les empêcher de se défendre. En conséquence, toute tortue en capacité de se remettre sur le ventre, par gravité, sans effort musculaire, bénéficie d’un avantage unique et d’un pouvoir supplémentaire. « C’est la forme Gömböc de leur coquille qui leur donne ce pouvoir. Voilà un exemple classique de l’évolution qui trouve une forme optimale de survie », observe Gábor Domokos.

Poursuivant ses recherches, Gábor Domokos se consacre actuellement à l’étude de la forme des galets de plage. Ses recherches menées avec Gary Gibbons de l’Université de Cambridge tentent de décrire la forme des galets et l’évolution de leur forme. Ils s’efforcent également de comprendre l’interaction entre les galets dans leur évolution collective. Domokos a pu étudier à l’aide de Maple un système d’équations différentielles intégrables. Grâce à la résolution de systèmes d’équations, il acquiert des connaissances uniques qui auraient pu lui échapper. Il étudie également l’équilibre des frottements et des collisions dans les processus d’abrasion, qui se traduit par ce qu’on appelle les ratios de galets dominants, phénomène pour lequel les galets d’une zone géographique donnée présentent des caractéristiques générales similaires. Gábor Domokos utilise Maple pour déterminer les coefficients de frottement critique, responsables de l’émergence de ratios de galets dominants.

La compréhension des formes existant dans la nature revêt une importance grandissante, aussi bien sur terre qu’au-delà. Récemment, le robot Curiosity de la NASA a retransmis des images de la surface de Mars montrant un ancien lit de rivière. La grosseur et la forme des cailloux indiquent la présence d’eau sur Mars il y a des milliards d’années et, en étudiant l’image de la roche, les scientifiques seront en mesure d’en apprendre davantage sur la taille et le débit des rivières disparues.

Comme Gábor Domokos poursuit ses recherches sur les formes mathématiques et la découverte des phénomènes naturels et scientifiques reposant sur ces formes, Maple continuera de jouer un rôle important dans ses recherches. « Maple est simple et puissant, c’est mon outil de calcul préféré », confie Gábo Domokos. « Nous sommes entourés de formes géométriques, mais notre cerveau n’est pas programmé pour les comprendre. Les objets comme le Gömböc ouvrent un nouveau langage pour comprendre de telles formes ».

Les Gömböcs sont proposés à la vente en différents matériaux et dimensions dans le magasin en ligne Gömböc .
- http:www.gomboc.eu/videofilm/gomboc...
- https://vimeo.com/2905151

Notes

[1] Citation de l’article The story of the Gömböc de Plus Magazine

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